眾所周知，考研大綱是全國碩士研究生入學(xué)考試命題的唯一依據(jù)，也是考生復(fù)習(xí)備考必不可少的工具書，規(guī)定了全國碩士研究生入學(xué)考試相應(yīng)科目的考試范圍、考試要求、考試形式、試卷結(jié)構(gòu)等權(quán)威政策指導(dǎo)性考研用書。今天，為了方便考研的小伙伴們，小編為大家整理了“2021考研大綱：鄭州大學(xué)915高等代數(shù)2021年碩士研究生考試大綱”的相關(guān)內(nèi)容，希望對大家有所幫助！
鄭州大學(xué) 2021 年碩士生入學(xué)考試初試高等代數(shù)考試大綱
一、考試基本要求及適用范圍概述
本《高等代數(shù)》考試大綱適用于鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院相關(guān)專業(yè)的碩士研究生 入學(xué)考試。高等代數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)理論課程，主要內(nèi)容包括多項式理論和線 性代數(shù)理論。要求考生系統(tǒng)地理解和掌握高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握 多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣、 歐氏空間的基本理論，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題。
二、考試形式
碩士研究生入學(xué)高等代數(shù)考試為閉卷，筆試，考試時間為 180 分鐘，本試卷滿分 、為 150 分。 試卷結(jié)構(gòu)（題型）：填空題、計算題、證明題
三、考試內(nèi)容及要求
（一）多項式
理解數(shù)域的概念. 掌握一元多項式及其次數(shù)、首項的定義和運(yùn)算，性質(zhì)掌握帶余除法定理，理解整除的概念和基本性質(zhì). 理解最大公因式、多項式互素的概念，會用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式，掌握互素 多項式的性質(zhì). 理解不可約多項式的概念，理解多項式有根與多項式可約的聯(lián)系與區(qū)別，掌握不 可約多項式的性質(zhì)和因式分解定理. 理解重因式、多項式的微商（導(dǎo)數(shù)）的概念，掌握多項式的重因式與其導(dǎo)數(shù)的關(guān) 命題學(xué)院（蓋章）： 考試科目代碼及名稱： 915 高等代數(shù)
系，和多項式?jīng)]有重因式的條件. 掌握余數(shù)定理，理解多項式的根與次數(shù)的關(guān)系，以及多項式相等與多項式函數(shù)相 等的一致性 復(fù)系數(shù)、實系數(shù)多項式的因式分解 理解代數(shù)學(xué)基本定理和復(fù)系數(shù)、實系數(shù)多項式的因式分解定理. 理解本原多項式及與有理多項式的聯(lián)系，掌握整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上因式分解、有有理根的性質(zhì)和條件，掌握 Eisenstein 判別法. 了解多元多項式字典排序法. 理解多項式根與系數(shù)的關(guān)系，了解對稱多項式的基本定理.
（二） 行列式
理解排列、逆序數(shù)、奇排列、偶排列、對換的概念，會計算排列的逆序數(shù)，理解 對換與排列的逆序數(shù)的關(guān)系，奇、偶排列各半，任意排列可以通過一系列對換與 標(biāo)準(zhǔn)排列互換. 掌握 n 階行列式的定義(包括等價定義)和一般項，會判斷給定項是否 n 階行列式 的一項. 熟練掌握 n 階行列式的性質(zhì)，并能夠用 n 階行列式的性質(zhì)計算行列式. 理解余子式、代數(shù)余子式的概念，熟練掌握按行、列展開定理. 理解 Cramer 法則的條件、結(jié)論和意義. 理解 k 級子式及其余子式、代數(shù)余子式的概念；理解 Laplace 定理與行列式的乘 法定理
（三） 線性方程組
理解系數(shù)矩陣、增廣矩陣等概念，會用消元法解方程組 理解 n 維向量及 n 維向量空間的概念，理解 n 維行、列向量的差異與聯(lián)系，掌握向量的線性運(yùn)算 理解向量組的線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，會判斷向量組的線性相關(guān) 性，理解延長向量組（包括添加向量和添加分量兩種情況）與原向量組的線性相 關(guān)性的關(guān)系，理解向量組的線性表出與它們線性相關(guān)性的關(guān)系 理解向量組的秩、極大線性無關(guān)組的概念，掌握極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，掌握向 量組的秩、極大線性無關(guān)組與向量組的線性表出的聯(lián)系，會求向量組的極大線性 無關(guān)組和秩. 理解矩陣的秩、矩陣的行列式秩、k 級子式的概念，會求矩陣的秩并用矩陣的秩 判斷向量組的線性相關(guān)性，掌握方陣的秩、方陣的行列式、線性方程組有非零解 的聯(lián)系 掌握線性方程組有解判定定理的內(nèi)容和意義，會利用矩陣的秩判斷線性方程組是 否有解，能夠分情況討論解的性質(zhì)，理解自由未知量的選取方法. 理解基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，掌 握非齊次線性方程組的解與其導(dǎo)出組解的關(guān)系，會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系， 以及用非齊次線性方程組的特解和其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.
（四） 矩陣
理解矩陣的概念，掌握矩陣與行列式的區(qū)別與聯(lián)系 掌握矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘積的運(yùn)算和性質(zhì)，理解對稱矩陣、反對稱矩陣 的概念 掌握矩陣乘積的行列式、矩陣的和與積的秩與原矩陣的秩的關(guān)系 掌握逆矩陣、伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，掌握方陣可逆的充要條件，會求逆矩陣 理解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算（包括求逆）與分法的限制條件，理 解準(zhǔn)對角矩陣的概念和性質(zhì)，會用分塊矩陣方法解決問題. 理解初等矩陣的概念，掌握初等矩陣與初等變換間的關(guān)系，矩陣的等價關(guān)系與等 價標(biāo)準(zhǔn)形，會用初等變換求逆矩陣，掌握矩陣初等變換下的不變量 理解分塊矩陣的初等變換，廣義初等矩陣與廣義初等變換的關(guān)系，會用廣義初等 變換解決分塊矩陣的問題
（五） 二次型
理解二次型的矩陣、秩的定義、性質(zhì)，以及二次型與對稱矩陣的 1-1 對應(yīng) 掌握合同矩陣的概念和性質(zhì)，會用合同變換化對稱矩陣為對角矩陣；掌握非退化 線性替換的概念和性質(zhì)，會用非退化線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形. 理解實、復(fù)二次型規(guī)范形及其唯一性，理解正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差的 概念理解正定矩陣、正定二次型，負(fù)定矩陣、負(fù)定二次型，半正定矩陣、半正定二次 型，半負(fù)定矩陣、半負(fù)定二次型的定義，掌握正定矩陣、正定二次型的幾個等價 條件. 定矩陣與正定二次型
（六）線性空間
理解集合，集合的交、并；掌握映射，單射，滿射，雙射，映射的乘法（合成） 掌握線性空間的定義，運(yùn)算，性質(zhì) 掌握線性空間的維數(shù)、基、坐標(biāo)的概念，會求線性空間的維數(shù)、基，以及向量在 指定基下的坐標(biāo) 理解基變換的過渡矩陣的概念，掌握基變換、坐標(biāo)變換公式 理解線性子空間和由若干向量所生成的子空間的概念，會判斷子集合是否構(gòu)成子 空間，會求子空間的維數(shù)、基，掌握補(bǔ)子空間及基擴(kuò)充定理 理解子空間的交、和的概念，會求兩個子空間的交、和的基與維數(shù)，掌握維數(shù)公 式及其應(yīng)用 掌握子空間的直和的概念以及幾個充要條件，會判斷子空間的和是否是直和 理解線性空間同構(gòu)的概念和性質(zhì)，掌握 n 維線性空間按同構(gòu)的分類
（七） 線性變換
掌握線性變換的定義和性質(zhì) 理解線性變換的加法、數(shù)乘、乘法、方冪、逆的定義和性質(zhì)， 掌握線性變換的矩陣的概念，會求線性變換在指定基下的矩陣；掌握在取定基后 線性變換與它們的矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系；掌握一個線性變換在不同基下的矩陣的 關(guān)系；會求一個向量在線性變換下的像的坐標(biāo) 熟練掌握線性變換（矩陣）的特征值、特征向量、特征多項式定義及計算，理解 特征子空間的概念；掌握相似矩陣的概念及其性質(zhì)；理解 Hamilton-Cayley 定理 熟練掌握一個 n 級方陣相似于對角矩陣的條件（充分條件、必要條件、充要條件）； 會求可逆矩陣 T，使得 T-1AT 為對角矩陣。 理解線性變換的值域、核的概念，會求線性變換值域與核的基、維數(shù)；掌握域與核的維數(shù)間的關(guān)系 理解線性變換的不變子空間的概念；幾個常用的不變子空間例子；理解線性變換 的不變子空間分解與線性變換的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣的聯(lián)系；理解線性變換的根子 空間分解
（八） λ矩陣
理解λ矩陣與數(shù)字矩陣的區(qū)別與聯(lián)系：子式、行列式、秩、可逆，可逆的充要條 件理解λ矩陣的初等變換、初等λ矩陣、λ矩陣的等價的概念和聯(lián)系，會求λ矩陣 的等價標(biāo)準(zhǔn)形 理解λ矩陣的行列式因子、不變因子的概念和聯(lián)系，會求λ矩陣的行列式因子、 不變因子 掌握兩個矩陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價，并會由此判斷兩個矩陣是 否相似 掌握λ矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子聯(lián)系，會求一個復(fù)矩陣的初等因 子理解若當(dāng)定理；掌握初等因子與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形間的對應(yīng)關(guān)系，會求一個復(fù)矩陣的若 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，會求可逆矩陣 T，使得 T-1AT 為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；理解最小多項式的概念， 會求最小多項式；會用最小多項式判斷一個復(fù)矩陣是否相似于對角矩陣
（九） 歐氏空間
理解內(nèi)積、歐氏空間的定義、性質(zhì)和常用例子；理解向量長度、夾角、單位向量、 垂直（正交）的概念；掌握 Cauchy 不等式、勾股定理；掌握度量矩陣的概念和 性質(zhì)理解正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，會用度量矩陣判斷正交基、標(biāo)準(zhǔn) 正交基； 理解正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性，熟練 Schmidt 正交化方法；掌握正交矩陣的 概念、性質(zhì)以及正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系 理解歐氏空間的同構(gòu)的概念、性質(zhì)，掌握歐氏空間按同構(gòu)的分類 理解正交變換的定義和性質(zhì)；掌握正交變換的幾個等價條件，正交變換、標(biāo)準(zhǔn)正 交基、正交矩陣的聯(lián)系；了解兩類正交變換 理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念；掌握正交子空間與直和的關(guān)系；掌握正交補(bǔ)的 存在唯一性及構(gòu)成；了解向量在子空間上內(nèi)射影的概念 熟練掌握實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質(zhì)，會求正交矩陣 T，使得 T-1AT 為對角矩陣；了解歐氏空間中對稱變換、反對稱變換的概念和性質(zhì)；掌握用特征 值判斷實對稱矩陣為正定矩陣的方法；會用實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形去解決問題
四、考試要求
碩士研究生入學(xué)考試科目《高等代數(shù)》為閉卷，筆試，考試時間為180分鐘， 本試卷滿分為150分。試卷務(wù)必書寫清楚、符號和西文字母運(yùn)用得當(dāng)。答案必須寫在答題紙上，寫在試題紙上無效。
五、主要參考教材（參考書目）
1.《高等代數(shù)》北京大學(xué)數(shù)學(xué)系王萼芳 石生明修訂，第四版，高等教育出版社，2013年。
2. 《高等代數(shù)》姚慕生，吳泉水，謝啟鴻，第3版，復(fù)旦大學(xué)出版社，2014年。
編制單位：鄭州大學(xué)
編制日期：2020年8月
原文標(biāo)題：鄭州大學(xué)2021年攻讀碩士學(xué)位研究生自命題科目考試大綱
原文鏈接：http://gs.zzu.edu.cn/info/1025/10696.htm
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