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考試大綱

 

重點(diǎn)考核學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧的掌握與運(yùn)用能力。考查的知識要點(diǎn)如下：

 

1．復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)：(1)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、指數(shù)形式（三角形式）、乘冪與方根，理解輻角函數(shù)的多值性。(2)掌握復(fù)變函數(shù)的概念、求極限和連續(xù)性的判斷。(3)掌握復(fù)平面中平面點(diǎn)集的相關(guān)概念。(4)理解復(fù)球面和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

 

2．解析函數(shù)：(1)理解復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)和解析的定義，掌握柯西-黎曼方程并能夠運(yùn)用相應(yīng)的充要條件來判斷函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性，掌握導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)。(2)掌握初等單值解析函數(shù)，包括整數(shù)次冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)。(3)掌握初等多值函數(shù)，包括根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)。(4)掌握多值函數(shù)中關(guān)于支點(diǎn)、割線、單值分支的概念和作用，并能對于一類特殊的多支點(diǎn)函數(shù)（多項(xiàng)式開N次方）得到相應(yīng)的單值解析分支。

 

3．復(fù)變函數(shù)的積分：(1)了解復(fù)積分的基本概念和基本性質(zhì)。(2)掌握柯西積分定理，掌握原函數(shù)不定積分，了解柯西積分定理在復(fù)周線上的情形。(3)掌握柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式，了解解析函數(shù)的無窮可微性、劉維爾定理和莫雷拉定理。(4)了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，能夠在已知實(shí)部或虛部的情況下求出相應(yīng)的解析函數(shù)。

 

4．解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法：(1)了解復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)，收斂與一致收斂性。(2)掌握冪級數(shù)的斂散性、收斂半徑以及和函數(shù)的性質(zhì)。(3)了解泰勒展開與解析區(qū)域的關(guān)系，能夠使用直接法或間接法對一些初等函數(shù)進(jìn)行泰勒展開。(4)理解零點(diǎn)的孤立性、解析函數(shù)的唯一性定理和最大模原理。

 

5．解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)：(1)掌握解析函數(shù)的洛朗展式，能夠按照要求將初等函數(shù)在規(guī)定圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)的形式。(2)掌握孤立奇點(diǎn)的三種類型及其性質(zhì)，并能夠?qū)o定的奇點(diǎn)判斷它的類型，掌握施瓦茨引理。(3)能夠判斷無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)性質(zhì)。(4)了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

 

6．留數(shù)理論及其應(yīng)用：(1)掌握有界點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的求法，并用其求解周線上的復(fù)積分。(2)運(yùn)用留數(shù)計算一些特殊類型的實(shí)積分（第六章第2節(jié)中所提到的前三種類型）。(3)掌握輻角原理和儒歇定理的應(yīng)用。

 

7．共形映射：(1)掌握解析變換的特征，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，單葉解析函數(shù)的基本性質(zhì)。(2)掌握分式線性變換和某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射，并能夠?qū)o定的兩個單連通區(qū)域，寫出相應(yīng)的共形映射。

 

參考書

 

無